球面几何学-丘成桐演讲全文:几何与计算数学的关系-硬科学论坛
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来源:本站
2019-07-27

球面几何学-丘成桐演讲全文:几何与计算数学的关系-硬科学论坛

我们先讲讲图论。 图,就是一大堆顶点、一大堆边把它们连起来,这是最简单不过的事情。 对于一个图,譬如交通图,我们要找出它们有着怎么样一个结构,什么地方比较拥挤。

有时候我们也要研究怎么将这个图切成小部分,然后分解成简单的子图;如何衡量各个连通分支间的连接度;如何将图染色等。

这些问题实际上都跟图上的特征函数有密切的关系。 图上的特征函数跟光滑图形上的特征函数有很类似的地方。 我在40年前跟几个朋友,郑绍远、李伟光,做了一个工作,将光滑黎曼流形的特征函数推广到图上,得到了很好的结果。

这些结果可以用来决定图上的连结的生成,研究图上的边创造过程,尤其是有个量的估值来控制在图上发散的过程。

约束发散的过程可以应用到许多实际的过程中。 我们还研究了图上的薛定谔方程,定义了图上的量子隧道概念。

这些概念都是从物理上来的,被借用到图上。

假如我们在考虑有向图,就是每个点、每个边,给它一个方向,我们就可以将拓扑学整个引用到图上去,定义了图上的同调群。 同调群可以用来研究图上密切的关系和它的内容。

现在我们来讲讲我们做的关于博弈理论的一个事情。

进化图论为表达种群结构提供了数学工具:顶点代表个体,边代表个体的交互作用。

图可以用来代表各种具有空间结构的群,例如细菌、动植物、组织结构、多细胞器官和社交网络。 在进化过程中,每个个体依据自身的适应程度,进行繁殖病侵占到邻近顶点。

图的拓扑反映了基因的演化——变异和选择的平衡。

类似的,互联网是一个大网,一个非常复杂的网络,我可以在上面研究它的变化。

社交行为的进化可以用进化博弈论来研究。 个体和邻居博弈,根据收益而繁殖。

个体繁殖速率受到自身与其他个体的交互作用影响,从而产生博弈的动态演化。

其中心的问题就在于对于给定的图如何决定哪种策略会取得成功。 我们在今年年初的时候在nature上发了篇文章,我们得到一个结果,就是在任何给定的图上进行弱选择,自然选择从两种彼此竞争的策略中如何进行挑选,这个理论框架适用于人类决策,也适用于任何集群组织的生态演化。

我们从弱选择极限得到的结果,解释了何种组织结构导致何种行为。

我们发现,如果存在成对的强纽带结构,合作就会大规模出现。 我们用数学证明了社会学方面的一个结论:稳定的伙伴或者伴侣,对于形成合作型的社会起到了骨干作用。

2、计算机图形学:全局参数化–共形几何下面我要讲的是“计算机图形学:全局参数化–共形几何”。 这是我们发展了二十多年的一个学问。 我和顾险峰从他还在哈佛念博士的时候(1999年)我们就开始做这个事情。 当我们将图形整体光滑映射到参数区域,使几何变得很小,会破坏掉整个图形;一般来讲这个要用手工来做,否则的话它变化非常大。

针对这个问题,我们使用了纹理贴图、法向量贴图等等的方法。 共性几何是一个很重要的从很古典的黎曼几何中产生的几何。